Métodos Numéricos: Competencia 2

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

ÍNDICE:

II. METODOS CERRADOS

II.1 método grafico

II.2 método de bisección

II.3 método de falsa posición

III. MÉTODOS ABIERTOS

II.4 teorema de punto fijo

II.5 método de newton-raphson

II.6 método de la secante

BIBLIOGRAFIA

Métodos Cerrados

Se parte de un intervalo en el que se sabe que hay al menos una raíz y convergen siempre.

ll.1.- Método Gráfico

Buscar la raíz de una función, tomando un intervalo inicial y reduciendo gradualmente a la mitad este, hasta hallar una aproximación o la raíz que satisface la función.

Este método plantea que si se cumple que: f(x) es real y continua en el intervalo que va desde un Xi hasta un Xs f(Xi) f(Xs)<0

Si se cumple lo anterior, por lo menos existe una raíz dentro de este intervalo.

El procedimiento es el siguiente:

· Se elige un intervalo inicial para función f(x)

· Luego se busca localizar la raíz con mayor exactitud dentro del intervalo dividiendo a la mitad y observando si se conservan las condiciones iniciales.

· Se compara el Xmed con cada uno de los límites del intervalo y se observa que producto cambia de signo y se asigna un nuevo intervalo.

· Se vuelve a repetir el proceso, y se va poniendo pequeño el intervalo hasta llegar a una aproximación de la raíz o la raíz exacta.

Al aplicarse el método se puede apreciar que la aproximación a la raíz mejora cada vez que el intervalo se hace más pequeño.

Ejemplo: encontrar la raíz de: -0.5x²+2.5x+4.5

Tabulamos desde -1.5 a 0, de 0.25 en 0.25.

x	F(x)
-1.5	-0.375
-1.25	0.5937
-1	1.5
-0.75	2.3437
-0.5	3.125
-0.25	3.843
0	4.5

La raíz será en dónde la línea toque el eje x, aproximadamente en -1.5.

ll.2.- Método de la Bisección.

Este método plantea que si se cumple que:

f(x) es real y continua en el intervalo que va desde un Xi hasta un Xs

f(Xi) f(Xs)<0

Si se cumple lo anterior, por lo menos existe una raíz dentro de este intervalo.

El procedimiento es el siguiente:

Se elige un intervalo inicial para función f(x)

Luego se busca localizar la raíz con mayor exactitud dentro del intervalo dividiendo a la mitad y observando si se conservan las condiciones iniciales.

Se compara el Xmed con cada uno de los límites del intervalo y se observa que producto cambia de signo y se asigna un nuevo intervalo.

Se vuelve a repetir el proceso, y se va poniendo pequeño el intervalo hasta llegar a una aproximación de la raíz o la raíz exacta.

Se trata de encontrar los ceros de:
f(x)=0

Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.

De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p∈[a,b] tal que f(p)=0.
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.
El proceso se repite hasta la lograr la precisión deseada.

Primera iteración del algoritmo

Segunda iteración del algoritmo

Ejemplo: encontrar la raíz de: X³+2x²+10x-20, con xl=1, xu=2

Haciendo iteraciones:

Hasta llegar a la octava iteración con un error de 0.28%

ll.3.- Método de la falsa posición.

Se trata de realizar un refinamiento del Método de de Bisección, eligiendo la aproximación m a distancias de a y b proporcionales a f(a) y f(b).

La ecuación de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) es de donde se tiene que el corte con el eje OX es, haciendo x = 0 y despejando se obtiene el valor.

Ejemplo: Utilice el método de falsa posición para obtener una raíz real de:

e^x-x²+3x-2=0, para 0<x<1

Métodos Abiertos.

ll.4.- Punto fijo.

Consiste en obtener una raíz, o solución, de una ecuación de la forma: f(x) = 0 ,la misma que debe ser transformada en una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuación f(x)=0,“x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina: x= g(x)
Si g es una función continua en [a,b] y g(x) ε[a,b] para todo “x” ε[a,b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a,b].

Método de iteración de punto fijo:
-Consiste en reordenar los términos de la función.
-Se iguala a cero, para que la variable “x” quede a la izquierda.
-x = g(x) ; x_i+1 = g(x_i).
Existen dos técnicas:
*Despejando la variable “x”.
*Convergencia al punto fijo.

Ejemplo: encontrar la raíz más grande de:

f(x)=2x³-11.7x²+17.7x-5, partiendo de X₀=3

ll.5.- Método de Newton-Raphson.

Es un método de segundo orden de convergencia cuando se trata de raíces reales no repetidas. Consiste en un procedimiento que lleva la ecuación f (x) =0 a la forma x = g (X_i)=0, de modo que g' (x) =0.

La pendiente de la tangente a la curva en el punto (X₀, 𝑓 X₀) es:

Este método es de orden porque g' (x) =0 y g (X_i)≠ 0que toma valores reales no negativo.

El objetivo de este método para estimar la solución de una ecuación F (x)=0 es producir una de las aproximaciones que se acerquen a la solución (iteraciones). Escogemos el primer numero x, de la secuencia y luego en circunstancia favorable el método hace el resto moviéndose paso a paso hacia la raíz.

5.1. PROCEDIMIENTOS DEL MÉTODO DE NEWTON

1) Adivine una primera aproximación a la solución de la ecuación f(x) =0 una grafica de y= f (x) podría ayudarle a hacerlo.

2) Use la primera aproximación para obtener la segunda, para obtener la tercera y así sucesivamente usando la fórmula:

Ejemplo: f(x)=X³+2x²+10x-20

ll.6.- Método de la Secante.

Se trata de un método interactivo en el que, en cada paso, se calcula una aproximación de la solución en lugar de un intervalo que la contiene.

Se parte de X0=a y X1=b y se calcula, interactivamente para cada >1, la interacción de la secante que une los puntos (Xn-1f(Xn-1) y (Xn,f(Xn) con el eje de abscisa, obteniendo la abscisa.