Competencia 4

Competencia 4

Integración y diferenciación numérica

Índice

Introducción
Método de Newton-Cotes
Método Trapezoidal
Método Trapezoidal compuesto
Método de Simpson 1/3
Método de Simpson 3/8
Cuadratura de Gauss
Diferenciación Numérica


Introducción

En las aplicaciones prácticas, a menudo sucede que tenemos valores de la variación de una función en algunos puntos sin tener su expresión analítica, y queremos inferir de ellos la función derivada en algún otro punto. De la misma forma, podemos necesitar la integral definida de esa función de la que sólo sabemos sus valores en algunos puntos; en el caso de la integral además, puede darse el caso de que, incluso teniendo la expresión analítica de la función a integrar, y siendo la función integrable, no exista la función primitiva. En estos casos la solución pasa por aproximar la derivada y la integral usando los métodos del cálculo numérico.
La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente.


Método de Newton-Cotes

Para quedar en la nueva notación 𝑥0 = 𝑎 y 𝑥𝑛 = 𝑏

2. Se aproxima 𝑓(𝑥) por un polinomio de grado n; 𝑃𝑛(𝑥) y se integra para obtener la aproximación de I.

Es evidente que se obtendrán valores diferentes de I para distintos valores de n, como se muestra a continuación.

Ejemplo:

Método del Trapezoidal

En el caso de n = 1, el intervalo de integración [a, b] queda tal cual y 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑏; la aproximación polinomial de f(x) es una línea recta (un polinomio de primer grado p(x)) y la aproximación a la integral es el área de trapezoide bajo esta línea recta, como se ve en la figura. Este método de integración se llama regla trapezoidal.

Ejemplos:

Método del Trapezoidal Compuesto

En vez de aproximar la integral de f(x) en [a, b] por una recta, conviene dividir [a, b] en n subintervalos y aproximar cada uno por un polinomio de primer grado.

Ejemplos:

Método de Simpson 1/3

Se aproxima f(x) con una parábola [un polinomio de segundo grado pix)], y la aproximación a la integral será el área bajo el segmento de parábola comprendida entre f(xo) y f(x2).

Ejemplos:

Método de Simpson 3/8

Ejemplos:

Cuadratura de Gauss


Ejemplo:

Diferenciación Numérica

La derivada de una función tiene muchas aplicaciones, entre las cuáles esta la determinación de la velocidad instantánea de una partícula o móvil a partir de su función de posición. Este proceso es en ocasiones algo muy sencillo cuando se cuenta con dicha función, pero cuando se requiere solucionar el mismo problema con un conjunto de datos discretos y no con su función, el procedimiento no puede ser llevado de igual manera, es decir, el cálculo no nos da una solución directa, por lo tanto, se debe recurrir a otro tipo de análisis.

Nota: Esta fórmula, aunque sencilla no tiene un comportamiento estable, ya que para funciones lineales puede llegar a ser exacta, no siendo así para funciones más generales. Pero sin duda alguna, es un buen punto de partida para el calculo de la derivada de una función, además hay que considerar que en algunos casos es la única opción con que se cuenta.

La tabla acontinuación resumen las formulas para aproximación de las derivadas:

La tabla acontinuación resumen las formulas para aproximación de las derivadas:

Segunda derivada:

La tabla acontinuación resumen las formulas para aproximación de las derivadas:

Ejemplo: aproximar la primera derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑒^2𝑥, con todas las fórmulas que se encuentran en las tablas para un X0= 1.1 y h=0.1, use el hecho de que f’(1.1)=18.050, para el cálculo del error absoluto

Solución:

Se requieren los valores de:

𝑓(𝑥0), 𝑓 𝑥0 + ℎ 𝑦 𝑓 𝑥0 + 2ℎ

𝑓(𝑥0):𝑓 1.1 = 9.025

𝑓 𝑥0 + ℎ :𝑓 1.2 = 11.023

𝑓 𝑥0 + 2ℎ :𝑓 1.3 = 13.464

Usando las fórmulas de diferencias finitas progresivas: